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Das Hochzeitsproblem – Teil 1

(Veröffentlicht am 19. November 2011 | Kategorie: Spiele | Schlagwörter: , , )

Dieser Artikel befasst sich mit der Frage, wie die Wahrscheinlichkeit einer Hochzeit beim Doppelkopf von der Anzahl der verwendeten Spielkarten abhängt. Konkret wird dies für 40 und 48 Spielkarten nachvollzogen.

Einleitung

Das Kartenspiel Doppelkopf gibt es in unterschiedlichen Varianten und vor allem mit den verschiedensten Regeln. Manche Runden spielen mit 40 Karten (ohne Neunen), andere mit 48 Karten (mit Neunen). Man könnte die Behauptung aufstellen, je zwei unterschiedliche Doppelkopfrunden haben garantiert paarweise verschiedene Hausregeln.
Allen gemein ist jedoch die Tatsache, dass die beiden Kreuz-Damen im Normalfall zusammen spielen (auf genauere Feinheiten gehe ich nicht ein). Nun kann es vorkommen, dass ein Spieler zu Beginn eines Spiels beide Kreuz-Damen auf der Hand hat. Er hat dann die Möglichkeit, eine Hochzeit zu spielen, oder eben auch nicht.

In diesem Artikel soll der Frage nachgegangen werden: Ist es wahrscheinlicher, dass bei einem Spiel mit 40 Karten ein Spieler beide Kreuz-Damen auf der hält, oder bei einem Spiel mit 48 Karten?

Einfaches Beispiel

Dazu betrachten wir einen Fall mit weniger Karten, um ein Gefühl für die Wahrscheinlichkeiten zu bekommen. Sei m die Gesamtzahl aller Karten im Spiel, für unser Beispiel sei m =12. Dann erhält ein Spieler nacheinander drei Handkarten, sei n die Anzahl der Handkarten, also n = 3. Zwei Karten der 12 Spielkarten sind Kreuz-Damen. Er (oder sie) hat also bei drei Handkarten genau drei Möglichkeiten, die 2 Kreuz-Damen zu erhalten (es ist die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Karten aus dreien zu ziehen):

  1. Die erste und die zweite Karte sind Kreuz-Damen (p_1)
  2. die erste und die dritte (p_2)
  3. oder die zweite und die dritte (p_3).

Fall 1: Die erste Kreuzdame zieht man mit der Wahrscheinlichkeit \frac{2}{12}, die zweite mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{11} (denn eine Karte von allen 12 ist schon weg). Die anschließende, beliebige Karte zieht man mit der Wahrscheinlichkeit \frac{10}{10}. Multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten, so erhält man für diese erste Möglichkeit:

    \begin{equation*} p_1 = \frac{2}{12} \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{10}{10} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 10}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{2}{132} = \frac{1}{66}. \end{equation*}

Fall 2: Die erste Kreuzdame zieht man wieder mit der Wahrscheinlichkeit \frac{2}{12}. Die zweite Karte ist eine beliebige außer der zweiten Kreuzdame, also zieht man diese beliebige mit der Wahrscheinlichkeit \frac{10}{11}. Dann folgt die zweite Kreuzdame mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{10}. Multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten wieder, so erhält man für diese erste Möglichkeit:

    \begin{align*} p_2 = \frac{2}{12} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 10}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{1}{66}. \end{align*}

Fall 3: Zuerst bekommt der Spieler eine beliebige Karte (außer den beiden Kreuzdamen) mit \frac{10}{12} Wahrscheinlichkeit, dann die erste Kreuz-Dame (\frac{2}{11}) und die zweite Kreuz-Dame (\frac{1}{10}). Also:

    \begin{align*} p_3 = \frac{10}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 10}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{1}{66}. \end{align*}

Es ist also p_1 = p_2 = p_3 = p, wir nennen die Wahrscheinlichkeit einfach p. Wir können also, um die Gesamtwahrscheinlichkeit für diesen einen Spieler abzuschätzen, 3 \cdot p berechnen und erhalten \frac{3}{66}. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau der ausgesuchte Spieler (oder die Spielerin) zwei Kreuz-Damen erhält. Allerdings kann das auch jedem der drei anderen passieren, also multipliziert man noch mal mit 4, da theoretisch ja jeder der vier Spieler die Kreuz-Damen bekommen kann. Die Gesamtwahrscheinlichkeit p_H(12,3) für eine “mögliche Hochzeit” bei 3 Handkarten ist somit

    \begin{align*} p_H (12,3) = \frac{3}{66} \cdot 4 = \frac{12}{66} \approx 0,182. \end{align*}

Damit hat – bei 3 Handkarten und 12 Karten insgesamt – ungefähr in einem von 5 Spielen eine Spielerin oder ein Spieler beide Kreuz-Damen auf der Hand.

Ergebnis

Führt man die Überlegungen nun für mehr Handkarten durch und ersetzt die Zahlen in den obigen Wahrscheinlichkeitsberechnungen durch die Variabeln m (= Gesamte Kartenanzahl) und n (= Anzahl der Handkarten), so erhält man für die Wahrscheinlichkeit p die Gleichung:

    \begin{align*} p = \frac{2 \cdot 1 \cdot (m-2) \cdots (m-n+1)}{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdots (m-n+1)} = \frac{2}{m \cdot (m-1)}. \end{align*}

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es nun, in seiner Hand von n Karten zwei Kreuz-Damen zu haben. Analog zu oben (wo es drei Möglichkeiten gab) überlegt man sich, dass es gerade die Anzahl der Möglichkeiten ist, zwei Karten aus n Karten zu ziehen. Das beschreibt der Binomialkoeffizient \binom{n}{2}. Insgesamt erhält man also (die 4 leitet sich wieder von vier Spielern ab, die die beiden Kreuz-Damen haben könnten)

    \begin{align*} p_H (m,n) = 4 \cdot \binom{n}{2} \frac{2}{m \cdot (m-1)}, \end{align*}

wobei das p_H(m,n) bedeutet: “Die Wahrscheinlichkeit bei insgesamt m Karten und n Hand-Karten ein Kartenkonstellation zu erhalten, bei der einer der vier Spieler zwei Kreuz-Damen auf der Hand hat”.

Setzt man nun ein, so erhält man die gesuchten Werte (man könnte den Term noch weiter vereinfachen, dazu aber später mehr):

Fall mit 40 Karten: p_H (40,10) = 4 \cdot \binom{10}{2} \frac{2}{40 \cdot (40-1)} = \frac{9}{39} \approx 0,231.
Fall mit 48 Karten: p_H (48,12) = 4 \cdot \binom{12}{2} \frac{2}{48 \cdot (48-1)} = \frac{33}{141} \approx 0,234.

Also ist es bei 48 Karten wahrscheinlicher, ein Spiel mit zwei Kreuz-Damen auf einer Hand zu verteilen, als bei 40 Karten. Ein vielleicht nicht unbedingt erwartetes Ergebnis…

(Fragestellung geht im Wesentlichen auf ein Gespräch mit Marjan zurück, vielen Dank…)

Erschienen in der Kategorie: Spiele

2 Kommentare zu “Das Hochzeitsproblem – Teil 1”

  1. Thorsten schrieb:

    kann man doch auch einfacher/kuerzer zeigen:

    48 karten, 4 spieler. die erste KD muss ja bei einem landen, also 1/4 pro spieler.

    dass die 2. bei demselben spieler landet ist 11 ( nur noch 11 positionen, da eine durch die erste KD besetzt) / 47 (nur noch 47 karten da 1 KD schon weg). Die wahrscheinlickeit fuer einen spieler ist also 1/4*11/47, oder fuer alle spieler = 4*1/4*11/47=33/141 und fuer 40 karten 4*1/4*9/39 = 9/39.

  2. Alex schrieb:

    @Thorsten: Auch so kommt man zum Ergebnis.
    Im Nachfolge-Artikel “Das Hochzeitsproblem – Teil 2″ tritt die Deutung für 11/47 auch noch bei der Vereinfachung des allgemeinen Terms auf.

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